O que se mostrará aqui são os passos principais da demonstração (baseado no trabalho de Casti16, capítulo The Halting Problem, e no trabalho de Nagel e Newman57).
Na aritmética existem infinitas maneiras de se selecionar um conjunto finito de axiomas e regras de inferência dentro de um sistema formal de modo que expresse sintaticamente verdades matemáticas sobre números. Gödel provou que não há e nem pode haver um sistema formal no qual se possa expressar toda a aritmética, que satisfaça todas as exigências de consistência do programa de Hilbert. Em outras palavras, não existem sequências de prova que demonstrem todas as verdades sobre os números naturais.
Gödel reconheceu a importância da percepção de Hilbert de que toda a formalização de um ramo da Matemática constitui também um objeto matemático: quando dizemos que formalizamos algo, significa que criamos uma estrutura matemática a partir da qual podemos falar acerca do que queremos formalizar. Deste modo, construindo-se um sistema formal para expressar as verdades da aritmética, tal sistema formal pode ser estudado não apenas como um conjunto de regras 'vazias de significado' para manipular símbolos, mas como um objeto que contém propriedades semânticas e sintáticas. Como Gödel estava interessado nas relações entre números, seu objetivo foi representar um sistema formal suficientemente forte para conter a aritmética através da própria aritmética. Tratava-se de mostrar como codificar qualquer sentença sobre números e suas relações através de um único número.
Esta idéia torna-se mais clara através da analogia com uma linguagem natural, como por exemplo a língua portuguesa. Normalmente usam-se palavras em Português para descrever propriedades das palavras portuguesas – verbos, substantivos, etc. –, como como acontece com as gramáticas. No caso se está utilizando a linguagem de duas maneiras diferentes: i) como uma coleção de expressões não-interpretadas de símbolos alfabéticos que são manipulados de acordo com as regras da gramática e sintaxe da língua portuguesa; e ii) como um conjunto de expressões interpretadas tendo um significado dentro do contexto. A idéia central é que os mesmos objetos podem ser considerados de duas maneiras diferentes, abrindo a possibilidade de que o objeto fale sobre si mesmo. Gödel mostrou que todas as proposições metamatemáticas contidas em um sistema formal podem ser adequadamente refletidas dentro desse mesmo sistema. Ele associou as expressões de um sistema formal a um número (o número Gödel) e construiu proposições metamatemáticas acerca das expressões e de suas recíprocas relações como uma proposição a respeito dos correspondentes números Gödel e de suas recíprocas relações aritméticas. É o que se chama de "aritmetização" da metamatemática.
Resumo dos passos:
Estabelecimento de um esquema de numeração: Gödel desenvolveu um esquema para codificar, através de números naturais, símbolos lógicos, fórmulas lógicas e sequências de provas de uma pequena porção formalizada dos Principia de Russell: a lógica elementar das proposições
ß
Paradoxo do mentiroso ("Esta sentença é falsa"): Substituição da noção de "verdade" pela de "passível de prova", ou seja, modificando o paradoxo para: "Este enunciado não é passível de prova"ß
Enunciado de Gödel: Gödel mostrou que a sentença "Este enunciado não é passível de prova" tem uma formulação correspondente na linguagem da aritimética – que seria a sentença G de Gödel – em qualquer formalização concebível da aritméticaß
Incompletude: Gödell demonstrou então que sua sentença G tem que ser verdadeira mas não provável, se o sistema formal é consistenteß
Ausência de uma cláusula de escape: Gödel provou que mesmo se axiomas adicionais fossem acrescentados para se formar um novo sistema no qual a sentença G fosse então provável, o novo sistema com seus axiomas adicionais teria sua própria sentença G não provávelß
Consistência: Gödel construiu aritmeticamente a proposição metamatemática "A aritmética é consistente". Demonstrou que esta proposição não pode ser provada, mostrando que a aritmética como um sistema fomal é fraca para provar sua própria consistência