Anexo II - O Método das Diferenças
Se uma função, como por exemplo f(x) = 2x + 3, é avaliada para sucessivos valores de x e anotarmos as diferenças entre cada valor de f(x), encontraremos:
x
f(x)
1a diferença
0
3
1
5
2
2
7
2
3
9
2
4
11
2
5
13
2
6
15
2
Para se achar o valor de f(x) para x = 7, sem fazer nenhuma multiplicação, basta tomar a constante de diferença e somar a f(6) já calculado, portanto f(7) = 15 + 2 = 17.
Se a função fosse um pouco mais complexa, como por exemplo f(x) = x2 + 2x + 3, então seria necessário obter as diferenças das diferenças (ou segundas diferenças) antes de se chegar ao valor constante. Por exemplo:
x
f(x)
1a diferença
2a diferença
0
3
1
6
3
2
11
5
2
3
18
7
2
4
27
9
2
5
38
11
2
6
51
13
2
Vamos agora encontrar o valor de f(x) para x = 7. O valor da constante de diferença é 2 que dever ser somado ao valor 13, encontrando-se assim o valor da coluna da 1a diferença para x = 7. Logo,f(7) será 15 + 51 = 66.	
Em geral, se a equação polinomial a ser avaliada tem um termo de aridade n, então será necessário ser tomada a n-ézima diferença antes de uma constante ser encontrada. Se é preciso avaliar uma equação polinomial para vários valores de x, tal como quando se está computando uma tabela, é mais fácil fazê-lo adicionando a diferença à diferença de cima, para então adicionar aquela diferença à de cima, e assim por diante até a o valor da função ser encontrado. Isto resulta em um procedimento no qual somente adições são exigidas se a própria função fosse ser avaliada para cada valor de x.
Embora todas as polinomiais tenham uma constante de diferença, funções logarítmicas e trigonométricas não têm, em geral, esta propriedade. Assim, para se poder usar o método das diferenças quando da produção de tabelas de tais funções, é necessário aproximar a função com uma polinomial e então avaliar esta polinomial.
Uma Máquina de Diferenças é simplesmente uma máquina com a capacidade de armazenar uma série de números e executar adições com eles. Os números irão representar os valores da função, sua primeira diferença, segunda, terceira, e assim por diante. Em função da máquina poder adicionar as diferenças inferiores às superiores e finalmente chegar ao valor da função, é possível gerar sucessivos valores da função. A máquina projetada por Babbage era capaz de trabalhar com polinomiais de grau seis80 e 26.